मान लीजिए f(x), x in [0, infty) एक अ-ऋणात्मक | vedclass

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Question

(A) दी गई असमिका $f'(x) \cos x \le f(x) \sin x$ है,जहाँ $x \ge 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f'(x) \cos x - f(x) \sin x \le 0$ प्राप्त हो

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(A) दी गई असमिका $f'(x) \cos x \le f(x) \sin x$ है,जहाँ $x \ge 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f'(x) \cos x - f(x) \sin x \le 0$ प्राप्त होता है।यह व्यंजक $f(x) \cos x$ के अवकलज का रूप है,अर्थात् $\frac{d}{dx}(f(x) \cos x) \le 0$ है।मान लीजिए $g(x) = f(x) \cos x$ है। चूँकि $g'(x) \le 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ अंतराल $x \ge 0$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।$x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$\cos x \ge 0$ होता है। जैसे-जैसे $x$,$\pi/2$ के करीब पहुँचता है,$g(x) = f(x) \cos x$ को अ-ऋणात्मक रहना चाहिए क्योंकि $f(x) \ge 0$ और $\cos x \ge 0$ है।हालाँकि,$x = \pi/2$ पर,$g(\pi/2) = f(\pi/2) \cdot 0 = 0$ होता है।चूँकि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है और $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $g(x) \ge 0$ है,तथा $g(\pi/2) = 0$ है,इसका अर्थ है कि $x \ge \pi/2$ के लिए $g(x) = 0$ होगा।अतः,$f(2\pi) \cos(2\pi) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f(2\pi) \cdot 1 = 0$,इसलिए $f(2\pi) = 0$ है।

मान लीजिए $f(x), x \in [0, \infty)$ एक अ-ऋणात्मक सतत फलन है। यदि $f'(x) \cos x \le f(x) \sin x$ सभी $x \ge 0$ के लिए सत्य है,तो $f(2\pi)$ का मान क्या होगा?

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